جواب کاردرکلاس صفحه 100 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۰ - کار در کلاس ۱ **هدف آموزشی تمرین** هدف از این تمرین، مهارت در **نقطه‌یابی** و رسم دقیق نمودار یک تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک ($a>1$) است. دانش‌آموز با محاسبه مقادیر خروجی به ازای ورودی‌های مختلف، نحوه رشد سریع این توابع را به‌صورت عددی و هندسی درک می‌کند. **حل تشریحی و گام‌به‌گام** - **گام اول (محاسبه مقادیر جدول):** ضابطه تابع $y=4^x$ است. مقادیر خالی را به ترتیب پیدا می‌کنیم: - برای $y = \frac{1}{4}$، می‌دانیم $4^{-1} = \frac{1}{4}$، پس $x = -1$. - برای $x = 0$، داریم $y = 4^0 = 1$. - برای $x = \frac{1}{2}$، داریم $y = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. جدول کامل شده شامل نقاط $(-1, 0.25)$، $(-0.5, 0.5)$، $(0, 1)$، $(0.5, 2)$ و $(1.5, 8)$ است. - **گام دوم (رسم نمودار):** نقاط به دست آمده را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم. همان‌طور که در تصویر مشاهده می‌شود، نقطه $(1.5, 8)$ از قبل مشخص شده است. با اتصال این نقاط به یکدیگر با یک منحنی نرم، نمودار صعودی $y=4^x$ رسم می‌شود. **نکته آموزشی:** در توابع نمایی، هرچه پایه عدد بزرگتری باشد (مثلاً مقایسه ۴ با ۳)، نمودار در سمت راست محور $y$ با شتاب بیشتری به سمت بالا می‌رود و به محور $y$ نزدیک‌تر می‌شود. **جمع‌بندی آموزشی** دانش‌آموز با انجام این تمرین، توانایی استخراج مختصات از ضابطه تابع نمایی و انتقال آن‌ها به دستگاه مختصات را کسب کرده و با مفهوم رشد نمایی پایه ۴ آشنا می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۰ - کار در کلاس ۲ **هدف آموزشی تمرین** این تمرین به دنبال تعمیم ویژگی‌های توابع نمایی $y=a^x$ (با $a>1$) است. دانش‌آموز می‌آموزد که با تغییر پایه، ویژگی‌های بنیادی تابع مانند دامنه و برد تغییر نمی‌کنند. **حل تشریحی و گام‌به‌گام** - **گام اول (بررسی دامنه):** برای هر دو تابع $y=3^x$ و $y=4^x$، متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی (مثبت، منفی یا صفر) را اختیار کند. بنابراین دامنه هر دو تابع برابر است با: $D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$ - **گام دوم (بررسی برد):** با توجه به نمودارها، هر دو تابع همواره بالای محور $x$ها قرار دارند و خروجی آن‌ها همیشه مثبت است. پس برد هر دو تابع یکسان است: $R = (0, +\infty)$ **نتیجه مقایسه:** دامنه و برد توابع نمایی با پایه‌های متفاوت ($a>1$) کاملاً **یکسان** هستند. **جمع‌بندی آموزشی** دانش‌آموز درک می‌کند که پایه تابع نمایی تنها بر روی سرعت رشد یا تندی منحنی اثر می‌گذارد و تأثیری بر بازه مقادیر مجاز ورودی و خروجی (در حالت پایه مثبت) ندارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۰ - کار در کلاس ۳ **هدف آموزشی تمرین** آموزش خاصیت **صعودی بودن** توابع نمایی با پایه بزرگتر از یک. دانش‌آموز یاد می‌گیرد که در این توابع، اگر توان بزرگتر شود، حاصل کل عبارت نیز بزرگتر خواهد شد. **حل تشریحی و گام‌به‌گام** - **بخش الف:** در تابع $y=3^x$، چون پایه ($3$) بزرگتر از یک است، تابع صعودی است. مقایسه توان‌ها نشان می‌دهد که $3 > 2.5$. بنابراین: $3^3 > 3^{2.5}$ - **بخش ب:** در تابع $y=4^x$، پایه ($4$) بزرگتر از یک است. چون در اعداد مثبت داریم $\sqrt{7} > \sqrt{5}$، پس با توجه به صعودی بودن تابع، حاصل توان بزرگتر، مقدار بیشتری دارد: $4^{\sqrt{5}} < 4^{\sqrt{7}}$ **نکته آموزشی:** اشتباه رایج دانش‌آموزان این است که بدون توجه به پایه، همیشه توان بزرگتر را انتخاب می‌کنند. باید دقت کرد که این رابطه (حفظ جهت نامساوی) فقط برای پایه‌های **بزرگتر از یک** صادق است. **جمع‌بندی آموزشی** پس از حل این تمرین، دانش‌آموز می‌تواند بدون محاسبه مقدار دقیق، اعداد نمایی با پایه یکسان را بر اساس مقدار توان آن‌ها با هم مقایسه کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۰۰ - کار در کلاس ۴ **هدف آموزشی تمرین** هدف از این فعالیت، فرموله کردن و تثبیت مفهوم **تابع اکیداً صعودی** برای توابع نمایی است. این تمرین پایه و اساس حل نامعادلات نمایی در مراحل پیشرفته‌تر محسوب می‌شود. **حل تشریحی و گام‌به‌گام** - **تحلیل کلی:** زمانی که نمودار یک تابع از چپ به راست همواره رو به بالا حرکت کند، آن را صعودی می‌نامیم. برای این توابع، جهت نامساوی بین ورودی‌ها ($x$ و $y$) و خروجی‌ها ($f(x)$ و $f(y)$) حفظ می‌شود. - **بخش الف:** چون پایه $3$ بزرگتر از یک است، اگر $x < y$ باشد، آنگاه حاصل $3$ به توان کوچک‌تر نیز از $3$ به توان بزرگتر کوچک‌تر است: $3^x < 3^y$ - **بخش ب:** به همین ترتیب برای پایه $4$ که بزرگتر از یک است، جهت نامساوی تغییر نمی‌کند: $4^x < 4^y$ **جمع‌بندی آموزشی** دانش‌آموز یاد می‌گیرد که در توابع نمایی $y=a^x$ با شرط $a>1$، رابطه بین توان‌ها و کل عبارت یک رابطه **مستقیم** است.